La somma Sₙ dei primi n termini di una progressione aritmetica, è uguale al prodotto di n per la semisomma dei due termini estremi a₁ e aₙ.

Scriviamo per esteso la somma:

Riscriviamola con i termini in ordine inverso:

Raggruppando gli estremi e i termini equidistanti a essi e successivamente moltiplicando per due l'intera somma, otteniamo:

(a₂+aₙ₋₁) e (aₙ+a₁) sono termini equidistanti quindi, per il teorema della somma dei termini equidistanti affrontati in precedenza, sappiamo che a₂+aₙ₋₁ **è uguale a n+a₁, a₃+aₙ₋₂ è uguale ad a₁+aₙ e così per tutte le altre somme:

Esempio:

Calcola la somma dei primi dieci termini della progressione aritmetica di a₁ = 1 e d = 2

Abbiamo quindi:

• a₁ = 1
• d = 2
• a₂+a₃+a₄+ ...+a₁₀ = ?
• aₙ = a₁₀ = 19 (secondo il **calcolo del termine generico)**

Sostituendo i valori alla formula, otteniamo: